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第9033期 总第总第58期期 2025年03月26日 星期三
| “正比例和反比例”教学中函数思想的渗透 |
| 来源：本站原创 作者：孙秀丽 发布日期：2025-03-26 16:20:22 |
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□泗县雪枫小学 孙秀丽 从小学低年级数学到高年级数学，再到初中数学，“数与代数”领域，经历了从算术到方程再到函数的变化过程。算术研究的是具体的确定的数的运算，方程研究的是确定的数与未知数之间的数量关系，而函数研究的则是变化的量之间的数量关系。
在正比例与反比例的初始教学阶段中，我常常感到很疑惑。上课刚开始讲解时，学生就觉得懂了，做作业却经常错得不可思议。而当你刚一点出他的错误时，很多学生突然又“恍然大悟”了。为什么会出现这种情况呢？难道真的只是有些学生所说的“没有看清楚题目”那么简单吗？怎样才能让学生在学习的过程中理解函数的变化思想呢？怎样才能让学生在对问题的解释过程中有条理地阐明理由呢？通过同学们在练习中出现的错误，我总结了以下几个方面的原因。
一、 没有弄明白“变化的量”的意思
同学们已经习惯了运用方程思想解决问题，主要关注的是通过设未知数，找出数量之间的相互关系，构建方程并求出方程的解，从而把问题求解出来。而函数思想更加关注的是变量之间的对应关系，通过构建函数模型，并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际应用问题的。这一思想是体现在一种变化的过程中的。
例如一次考试中的判断题：9×5=45（一定），所以9和5成反比例。很多学生都判断是对的，甚至一些优秀的学生也犯错了。究其原因，是因为他们只看到了45是一定的，而忽略了9和5是两个固定的数，并不是两个变化的量。这是一道算术题，并不是在变化的过程中。
二、 没有弄清两个变量之间的关系
刚开始学习本章知识时，经常遇到这样的情形：长方形的面积一定，底和高成什么比例？大多数学生很容易判断出来成反比例。然而当题目变成三角形的面积一定，底和高成什么比例时，很多学生就判断不出来了。我刚开始感到很奇怪，不都是一样的数学模型吗？为什么会出现如此不同的结果呢？通过让出错的学生说出自己的想法才了解到，底乘高直接就等于长方形的面积，学生很容易判断出来底和高这两个变量之间是乘积一定，所以成反比例关系。三角形面积等于底乘高除以2，部分学生就开始犯糊涂了，将三者之间的关系转化为：（底×高）÷面积=2，2是定值，错误地判断成正比例关系了。这里面问题还在于，学生没有看清题目到底问的是哪两个变量之间的关系。本题中面积已经一定，不应再看成一个变量。类似的题目还有，圆柱的体积一定，底面积和高成反比例容易判断。圆锥的体积一定，底面积和高成反比例较难判断。
三、没有抓住定值这一关键词
在学习正比例的第二课时时，当时组织学生讨论：圆的面积与半径成正比例吗？你是如何思考的？学生出现了很多的想法，有的判断成正比例，理由很充分，也有的判断不成正比例，理由也很充足。现在将学生典型的想法记录如下：
生1：成正比例关系，理由是半径越大，面积就越大。师：看起来的确如此。生2：（反驳），他们的比值不一定，所以不成正比例关系。生3：成正比例，因为圆的面积除以半径总是等于圆周率乘半径，如12.56÷2=6.28=3.14×2，28.26÷3=9.42=3.14×3。生4：不成正比例，因为半径是1，面积是3.14，比值是3.14，半径是2，面积是12.56，比值是6.28，半径是3，面积是28.26，比值是9.42。它们的比值是不同的。接着组织学生讨论指出，生1的错误之处在于判断圆的面积与半径是否成正比例，不能仅仅看半径越大，面积越大，这一点只能说明面积和半径是相关联的量。生3的错误之处在于仅从公式上看，面积除以半径等于圆周率乘半径，形式固定就算了，没有注意到这里的半径是个变量，变量乘圆周率仍然是变量。
这类题目对于学生来说是个难点，类似的还有正方形的面积与边长是否成正比例。通过组织学生讨论，与前面的例子进行类比，从而培养学生有序、有理、有据地思考数学的能力。
通过渗透函数的思想，可以让学生了解一切事物都处于不断变化的过程中，而且事物之间是相互联系的。生活中不一定用到函数，但是变量的思想对于我们每个人来说，是至关重要的。我们应该通过函数思想的渗透，让变量的思想在学生的心中根深蒂固，进而指导学习与生活，这才是我们教育的最终追求。
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